10 Commutative Algebra

• Section 10.1: Introduction
• Section 10.2: Conventions
• Section 10.3: Basic notions
• Section 10.4: Snake lemma
  • Lemma 10.4.1 reference
• Section 10.5: Finite modules and finitely presented modules
  • Definition 10.5.1
  • Lemma 10.5.2
  • Lemma 10.5.3
  • Lemma 10.5.4 slogan
  • Lemma 10.5.5
• Section 10.6: Ring maps of finite type and of finite presentation
  • Definition 10.6.1
  • Lemma 10.6.2
  • Lemma 10.6.3
  • Lemma 10.6.4
• Section 10.7: Finite ring maps
  • Definition 10.7.1
  • Lemma 10.7.2
  • Lemma 10.7.3
  • Lemma 10.7.4
• Section 10.8: Colimits
  • Definition 10.8.1
  • Lemma 10.8.2
  • Lemma 10.8.3
  • Lemma 10.8.4
  • Example 10.8.5
  • Definition 10.8.6
  • Lemma 10.8.7
  • Lemma 10.8.8 slogan
  • Example 10.8.9
  • Lemma 10.8.10
• Section 10.9: Localization
  • Definition 10.9.1
  • Definition 10.9.2
  • Proposition 10.9.3
  • Lemma 10.9.4
  • Lemma 10.9.5
  • Definition 10.9.6
  • Lemma 10.9.7
  • Example 10.9.8
  • Lemma 10.9.9
  • Proposition 10.9.10
  • Proposition 10.9.11
  • Proposition 10.9.12 slogan
  • Lemma 10.9.13
  • Proposition 10.9.14
  • Lemma 10.9.15
  • Lemma 10.9.16 slogan
• Section 10.10: Internal Hom
  • Lemma 10.10.1
  • Lemma 10.10.2
• Section 10.11: Characterizing finite and finitely presented modules
  • Lemma 10.11.1
  • Definition 10.11.2
  • Lemma 10.11.3
  • Lemma 10.11.4
• Section 10.12: Tensor products
  • Definition 10.12.1
  • Lemma 10.12.2
  • Lemma 10.12.3
  • Lemma 10.12.4
  • Lemma 10.12.5
  • Definition 10.12.6
  • Lemma 10.12.7
  • Lemma 10.12.8
  • Lemma 10.12.9: Tensor products commute with colimits
  • Lemma 10.12.10
    • Equation 10.12.10.1
  • Remark 10.12.11
  • Example 10.12.12
  • Remark 10.12.13
  • Lemma 10.12.14
  • Lemma 10.12.15
  • Lemma 10.12.16
• Section 10.13: Tensor algebra
  • Lemma 10.13.1
  • Lemma 10.13.2
  • Lemma 10.13.3
  • Lemma 10.13.4
  • Lemma 10.13.5 slogan
  • Lemma 10.13.6
• Section 10.14: Base change
  • Definition 10.14.1
  • Lemma 10.14.2
  • Lemma 10.14.3
  • Lemma 10.14.4
  • Lemma 10.14.5
• Section 10.15: Miscellany
  • Lemma 10.15.1
  • Lemma 10.15.2: Prime avoidance slogan
  • Lemma 10.15.3
  • Lemma 10.15.4: Chinese remainder
  • Lemma 10.15.5
  • Lemma 10.15.6
  • Lemma 10.15.7 slogan
  • Lemma 10.15.8 slogan
• Section 10.16: Cayley-Hamilton
  • Lemma 10.16.1
  • Lemma 10.16.2
  • Lemma 10.16.3
  • Lemma 10.16.4
• Section 10.17: The spectrum of a ring
  • Definition 10.17.1
  • Lemma 10.17.2
  • Definition 10.17.3
  • Lemma 10.17.4 slogan
  • Lemma 10.17.5
  • Lemma 10.17.6
  • Lemma 10.17.7
  • Lemma 10.17.8 slogan
  • Lemma 10.17.9
• Section 10.18: Local rings
  • Definition 10.18.1
  • Example 10.18.2
  • Lemma 10.18.3
  • Lemma 10.18.4
  • Remark 10.18.5
  • Lemma 10.18.6
• Section 10.19: The Jacobson radical of a ring
  • Lemma 10.19.1
  • Lemma 10.19.2
• Section 10.20: Nakayama's lemma
  • Lemma 10.20.1: Nakayama's lemma historical remark reference
  • Lemma 10.20.2
  • Lemma 10.20.3
• Section 10.21: Open and closed subsets of spectra
  • Lemma 10.21.1
  • Lemma 10.21.2
  • Lemma 10.21.3
  • Lemma 10.21.4
  • Lemma 10.21.5
• Section 10.22: Connected components of spectra
  • Lemma 10.22.1
  • Lemma 10.22.2
• Section 10.23: Glueing properties
  • Lemma 10.23.1
  • Lemma 10.23.2 slogan
  • Lemma 10.23.3
• Section 10.24: Glueing functions
  • Lemma 10.24.1
  • Lemma 10.24.2
  • Lemma 10.24.3
  • Lemma 10.24.4
  • Lemma 10.24.5
• Section 10.25: Zerodivisors and total rings of fractions
  • Lemma 10.25.1
  • Lemma 10.25.2
  • Lemma 10.25.3
  • Lemma 10.25.4
• Section 10.26: Irreducible components of spectra
  • Lemma 10.26.1
  • Lemma 10.26.2
  • Lemma 10.26.3
  • Lemma 10.26.4
  • Lemma 10.26.5
• Section 10.27: Examples of spectra of rings
  • Example 10.27.1
  • Example 10.27.2
  • Example 10.27.3
  • Example 10.27.4
• Section 10.28: A meta-observation about prime ideals
  • Lemma 10.28.1
  • Definition 10.28.2
  • Example 10.28.3
  • Example 10.28.4
  • Example 10.28.5
  • Example 10.28.6
  • Example 10.28.7
  • Proposition 10.28.8
  • Lemma 10.28.9
  • Lemma 10.28.10
  • Lemma 10.28.11
  • Lemma 10.28.12
  • Remark 10.28.13
  • Example 10.28.14 reference
• Section 10.29: Images of ring maps of finite presentation
  • Lemma 10.29.1
  • Lemma 10.29.2
  • Lemma 10.29.3
  • Lemma 10.29.4
  • Lemma 10.29.5
  • Lemma 10.29.6
  • Lemma 10.29.7
  • Lemma 10.29.8
  • Lemma 10.29.9
  • Theorem 10.29.10: Chevalley's Theorem
• Section 10.30: More on images
  • Lemma 10.30.1
  • Lemma 10.30.2
  • Lemma 10.30.3
  • Lemma 10.30.4
  • Lemma 10.30.5
  • Lemma 10.30.6
  • Lemma 10.30.7
• Section 10.31: Noetherian rings
  • Lemma 10.31.1 slogan
  • Lemma 10.31.2
  • Lemma 10.31.3
  • Lemma 10.31.4
  • Lemma 10.31.5
  • Lemma 10.31.6 slogan
  • Lemma 10.31.7
  • Lemma 10.31.8
  • Lemma 10.31.9
  • Lemma 10.31.10
• Section 10.32: Locally nilpotent ideals
  • Definition 10.32.1
  • Example 10.32.2
  • Lemma 10.32.3
  • Lemma 10.32.4
  • Lemma 10.32.5 slogan
  • Lemma 10.32.6
  • Lemma 10.32.7
  • Lemma 10.32.8
• Section 10.33: Curiosity
  • Lemma 10.33.1
  • Lemma 10.33.2
• Section 10.34: Hilbert Nullstellensatz
  • Theorem 10.34.1: Hilbert Nullstellensatz
  • Lemma 10.34.2
• Section 10.35: Jacobson rings
  • Definition 10.35.1
  • Lemma 10.35.2
  • Lemma 10.35.3
  • Lemma 10.35.4
  • Lemma 10.35.5
  • Lemma 10.35.6
  • Example 10.35.7
  • Example 10.35.8
  • Lemma 10.35.9
  • Lemma 10.35.10
  • Theorem 10.35.11
  • Lemma 10.35.12
  • Example 10.35.13
  • Lemma 10.35.14
  • Example 10.35.15
  • Example 10.35.16
  • Lemma 10.35.17
  • Lemma 10.35.18
  • Proposition 10.35.19
  • Lemma 10.35.20
  • Lemma 10.35.21
  • Lemma 10.35.22
  • Example 10.35.23
  • Example 10.35.24
• Section 10.36: Finite and integral ring extensions
  • Definition 10.36.1
  • Lemma 10.36.2
  • Lemma 10.36.3
  • Lemma 10.36.4
  • Lemma 10.36.5
  • Lemma 10.36.6 slogan
  • Lemma 10.36.7
  • Lemma 10.36.8
  • Definition 10.36.9
  • Lemma 10.36.10
  • Lemma 10.36.11
  • Lemma 10.36.12 slogan
  • Lemma 10.36.13 slogan
  • Lemma 10.36.14
  • Lemma 10.36.15
  • Lemma 10.36.16
  • Lemma 10.36.17
  • Lemma 10.36.18
  • Lemma 10.36.19
  • Lemma 10.36.20
  • Lemma 10.36.21
  • Lemma 10.36.22
  • Lemma 10.36.23
  • Lemma 10.36.24
• Section 10.37: Normal rings
  • Definition 10.37.1
  • Lemma 10.37.2
  • Definition 10.37.3
  • Lemma 10.37.4
  • Lemma 10.37.5
  • Lemma 10.37.6
  • Lemma 10.37.7
  • Lemma 10.37.8
  • Lemma 10.37.9
  • Lemma 10.37.10
  • Definition 10.37.11
  • Lemma 10.37.12
  • Lemma 10.37.13
  • Lemma 10.37.14
  • Lemma 10.37.15
  • Lemma 10.37.16
  • Lemma 10.37.17
• Section 10.38: Going down for integral over normal
  • Definition 10.38.1
  • Lemma 10.38.2
  • Lemma 10.38.3
  • Lemma 10.38.4
  • Lemma 10.38.5
  • Lemma 10.38.6
  • Proposition 10.38.7
• Section 10.39: Flat modules and flat ring maps
  • Definition 10.39.1
  • Lemma 10.39.2
  • Lemma 10.39.3
  • Lemma 10.39.4
  • Lemma 10.39.5
  • Lemma 10.39.6
  • Lemma 10.39.7
  • Lemma 10.39.8
  • Lemma 10.39.9
  • Lemma 10.39.10
  • Lemma 10.39.11: Equational criterion of flatness
  • Lemma 10.39.12
  • Lemma 10.39.13
  • Lemma 10.39.14
  • Lemma 10.39.15 slogan
  • Lemma 10.39.16
  • Lemma 10.39.17
  • Lemma 10.39.18
  • Lemma 10.39.19
  • Lemma 10.39.20
• Section 10.40: Supports and annihilators
  • Definition 10.40.1
  • Lemma 10.40.2 slogan
  • Definition 10.40.3
  • Lemma 10.40.4
  • Lemma 10.40.5
  • Lemma 10.40.6
  • Lemma 10.40.7
  • Lemma 10.40.8
  • Lemma 10.40.9
• Section 10.41: Going up and going down
  • Definition 10.41.1
  • Lemma 10.41.2
  • Lemma 10.41.3
  • Lemma 10.41.4
  • Lemma 10.41.5
  • Lemma 10.41.6
  • Lemma 10.41.7
  • Proposition 10.41.8
  • Lemma 10.41.9
  • Lemma 10.41.10
  • Lemma 10.41.11
  • Lemma 10.41.12
• Section 10.42: Separable extensions
  • Definition 10.42.1
  • Lemma 10.42.2
  • Lemma 10.42.3
  • Lemma 10.42.4
• Section 10.43: Geometrically reduced algebras
  • Definition 10.43.1
  • Lemma 10.43.2
  • Lemma 10.43.3
  • Lemma 10.43.4
  • Lemma 10.43.5
  • Lemma 10.43.6
  • Lemma 10.43.7
  • Lemma 10.43.8
  • Lemma 10.43.9
• Section 10.44: Separable extensions, continued
  • Lemma 10.44.1
  • Lemma 10.44.2
  • Lemma 10.44.3
  • Lemma 10.44.4
• Section 10.45: Perfect fields
  • Definition 10.45.1
  • Lemma 10.45.2
  • Lemma 10.45.3
  • Lemma 10.45.4 slogan
  • Definition 10.45.5
  • Lemma 10.45.6
• Section 10.46: Universal homeomorphisms
  • Lemma 10.46.1
  • Lemma 10.46.2 reference
  • Lemma 10.46.3
  • Lemma 10.46.4
  • Lemma 10.46.5
  • Lemma 10.46.6
  • Lemma 10.46.7
  • Lemma 10.46.8
  • Lemma 10.46.9
  • Lemma 10.46.10
  • Lemma 10.46.11
• Section 10.47: Geometrically irreducible algebras
  • Lemma 10.47.1
  • Lemma 10.47.2
  • Lemma 10.47.3
  • Definition 10.47.4
  • Lemma 10.47.5
  • Lemma 10.47.6
  • Lemma 10.47.7
  • Lemma 10.47.8
  • Lemma 10.47.9
  • Lemma 10.47.10
  • Lemma 10.47.11
  • Lemma 10.47.12
  • Lemma 10.47.13
  • Lemma 10.47.14
• Section 10.48: Geometrically connected algebras
  • Lemma 10.48.1
  • Lemma 10.48.2
  • Definition 10.48.3
  • Lemma 10.48.4
  • Lemma 10.48.5
  • Lemma 10.48.6
• Section 10.49: Geometrically integral algebras
  • Definition 10.49.1
  • Lemma 10.49.2
  • Lemma 10.49.3
  • Lemma 10.49.4
• Section 10.50: Valuation rings
  • Definition 10.50.1
  • Lemma 10.50.2
  • Lemma 10.50.3
  • Lemma 10.50.4
  • Lemma 10.50.5
  • Lemma 10.50.6 slogan
  • Lemma 10.50.7
  • Lemma 10.50.8
  • Lemma 10.50.9
  • Lemma 10.50.10
  • Lemma 10.50.11
  • Lemma 10.50.12
  • Definition 10.50.13
  • Lemma 10.50.14
  • Lemma 10.50.15
  • Lemma 10.50.16
  • Lemma 10.50.17
  • Lemma 10.50.18
• Section 10.51: More Noetherian rings
  • Lemma 10.51.1
  • Lemma 10.51.2: Artin-Rees
  • Lemma 10.51.3
  • Lemma 10.51.4: Krull's intersection theorem
  • Lemma 10.51.5
  • Remark 10.51.6
  • Lemma 10.51.7: Artin-Tate
• Section 10.52: Length
  • Definition 10.52.1
  • Lemma 10.52.2 slogan
  • Lemma 10.52.3 slogan
  • Lemma 10.52.4
  • Lemma 10.52.5
  • Lemma 10.52.6
  • Lemma 10.52.7
  • Lemma 10.52.8
  • Definition 10.52.9
  • Lemma 10.52.10
  • Lemma 10.52.11
  • Lemma 10.52.12
  • Lemma 10.52.13
  • Lemma 10.52.14
• Section 10.53: Artinian rings
  • Definition 10.53.1
  • Lemma 10.53.2
  • Lemma 10.53.3
  • Lemma 10.53.4
  • Lemma 10.53.5
  • Lemma 10.53.6
• Section 10.54: Homomorphisms essentially of finite type
  • Definition 10.54.1
  • Lemma 10.54.2
  • Lemma 10.54.3
  • Lemma 10.54.4
  • Lemma 10.54.5
• Section 10.55: K-groups
  • Lemma 10.55.1
  • Example 10.55.2
  • Example 10.55.3
  • Example 10.55.4
  • Example 10.55.5
  • Lemma 10.55.6
  • Lemma 10.55.7
  • Lemma 10.55.8
  • Lemma 10.55.9
• Section 10.56: Graded rings
  • Lemma 10.56.1
  • Lemma 10.56.2
  • Lemma 10.56.3
• Section 10.57: Proj of a graded ring
  • Definition 10.57.1
  • Lemma 10.57.2
  • Lemma 10.57.3: Topology on Proj
  • Example 10.57.4
  • Lemma 10.57.5
  • Lemma 10.57.6
  • Lemma 10.57.7
  • Lemma 10.57.8
  • Lemma 10.57.9
  • Lemma 10.57.10
• Section 10.58: Noetherian graded rings
  • Lemma 10.58.1
  • Lemma 10.58.2
  • Definition 10.58.3
  • Lemma 10.58.4
  • Lemma 10.58.5
  • Lemma 10.58.6
  • Proposition 10.58.7
  • Remark 10.58.8
  • Example 10.58.9
  • Lemma 10.58.10
• Section 10.59: Noetherian local rings
  • Definition 10.59.1
  • Lemma 10.59.2
  • Lemma 10.59.3
  • Lemma 10.59.4
  • Proposition 10.59.5
  • Definition 10.59.6
  • Lemma 10.59.7
  • Definition 10.59.8
  • Lemma 10.59.9
  • Lemma 10.59.10
• Section 10.60: Dimension
  • Definition 10.60.1
  • Definition 10.60.2
  • Definition 10.60.3
  • Lemma 10.60.4
  • Lemma 10.60.5
  • Lemma 10.60.6
  • Proposition 10.60.7
  • Lemma 10.60.8
  • Proposition 10.60.9
  • Definition 10.60.10
  • Lemma 10.60.11
  • Lemma 10.60.12
  • Lemma 10.60.13
  • Lemma 10.60.14
• Section 10.61: Applications of dimension theory
  • Lemma 10.61.1
  • Lemma 10.61.2
  • Lemma 10.61.3
  • Lemma 10.61.4
• Section 10.62: Support and dimension of modules
  • Lemma 10.62.1
  • Lemma 10.62.2
  • Lemma 10.62.3
  • Lemma 10.62.4
  • Lemma 10.62.5
  • Lemma 10.62.6
  • Lemma 10.62.7
• Section 10.63: Associated primes
  • Definition 10.63.1
  • Lemma 10.63.2
  • Lemma 10.63.3
  • Lemma 10.63.4
  • Lemma 10.63.5
  • Proposition 10.63.6
  • Lemma 10.63.7 slogan
  • Lemma 10.63.8
  • Lemma 10.63.9
  • Lemma 10.63.10
  • Lemma 10.63.11
  • Remark 10.63.12
  • Lemma 10.63.13
  • Lemma 10.63.14
  • Lemma 10.63.15
  • Lemma 10.63.16
  • Lemma 10.63.17
  • Lemma 10.63.18
  • Lemma 10.63.19
  • Lemma 10.63.20
• Section 10.64: Symbolic powers
  • Definition 10.64.1
  • Lemma 10.64.2
  • Lemma 10.64.3
• Section 10.65: Relative assassin
  • Lemma 10.65.1
  • Definition 10.65.2
  • Lemma 10.65.3
  • Lemma 10.65.4
  • Lemma 10.65.5
  • Remark 10.65.6
• Section 10.66: Weakly associated primes
  • Definition 10.66.1
  • Lemma 10.66.2
  • Lemma 10.66.3
  • Lemma 10.66.4
  • Lemma 10.66.5 slogan
  • Lemma 10.66.6
  • Lemma 10.66.7
  • Lemma 10.66.8
  • Lemma 10.66.9
  • Remark 10.66.10
  • Lemma 10.66.11
  • Remark 10.66.12
  • Lemma 10.66.13
  • Lemma 10.66.14
  • Lemma 10.66.15
  • Lemma 10.66.16
  • Lemma 10.66.17
  • Lemma 10.66.18
  • Lemma 10.66.19
• Section 10.67: Embedded primes
  • Definition 10.67.1
  • Lemma 10.67.2
  • Lemma 10.67.3
  • Lemma 10.67.4
• Section 10.68: Regular sequences
  • Definition 10.68.1
  • Example 10.68.2
  • Example 10.68.3
  • Lemma 10.68.4
  • Lemma 10.68.5 slogan
  • Lemma 10.68.6
  • Lemma 10.68.7
  • Lemma 10.68.8
  • Lemma 10.68.9
  • Lemma 10.68.10
• Section 10.69: Quasi-regular sequences
  • Equation 10.69.0.1
  • Definition 10.69.1
  • Lemma 10.69.2
  • Lemma 10.69.3
  • Lemma 10.69.4
  • Lemma 10.69.5
  • Lemma 10.69.6
  • Remark 10.69.7: Other types of regular sequences
  • Remark 10.69.8
  • Lemma 10.69.9
• Section 10.70: Blow up algebras
  • Definition 10.70.1
  • Lemma 10.70.2
  • Lemma 10.70.3
  • Example 10.70.4
  • Example 10.70.5
  • Lemma 10.70.6
  • Lemma 10.70.7
  • Lemma 10.70.8
  • Lemma 10.70.9 slogan
  • Lemma 10.70.10
  • Lemma 10.70.11
  • Lemma 10.70.12
• Section 10.71: Ext groups
  • Lemma 10.71.1
  • Definition 10.71.2
  • Lemma 10.71.3
  • Lemma 10.71.4
  • Lemma 10.71.5
  • Lemma 10.71.6
  • Lemma 10.71.7
  • Lemma 10.71.8
  • Lemma 10.71.9
• Section 10.72: Depth
  • Definition 10.72.1
  • Lemma 10.72.2
  • Lemma 10.72.3
  • Lemma 10.72.4
  • Lemma 10.72.5
  • Lemma 10.72.6
  • Lemma 10.72.7
  • Lemma 10.72.8
  • Lemma 10.72.9
  • Lemma 10.72.10
  • Lemma 10.72.11
• Section 10.73: Functorialities for Ext
  • Lemma 10.73.1
• Section 10.74: An application of Ext groups
  • Lemma 10.74.1
• Section 10.75: Tor groups and flatness
  • Lemma 10.75.1
  • Lemma 10.75.2
  • Lemma 10.75.3
  • Remark 10.75.4
  • Lemma 10.75.5
  • Remark 10.75.6
  • Lemma 10.75.7
  • Lemma 10.75.8
  • Remark 10.75.9
• Section 10.76: Functorialities for Tor
  • Lemma 10.76.1
  • Lemma 10.76.2
• Section 10.77: Projective modules
  • Definition 10.77.1
  • Lemma 10.77.2
  • Lemma 10.77.3
  • Lemma 10.77.4
  • Lemma 10.77.5
  • Lemma 10.77.6
  • Lemma 10.77.7
• Section 10.78: Finite projective modules
  • Definition 10.78.1
  • Lemma 10.78.2
  • Lemma 10.78.3
  • Remark 10.78.4
  • Lemma 10.78.5
  • Lemma 10.78.6
  • Lemma 10.78.7
  • Lemma 10.78.8
  • Lemma 10.78.9
• Section 10.79: Open loci defined by module maps
  • Lemma 10.79.1
  • Lemma 10.79.2
  • Lemma 10.79.3
  • Lemma 10.79.4
• Section 10.80: Faithfully flat descent for projectivity of modules
• Section 10.81: Characterizing flatness
  • Lemma 10.81.1
  • Lemma 10.81.2
  • Lemma 10.81.3
  • Theorem 10.81.4: Lazard's theorem
• Section 10.82: Universally injective module maps
  • Definition 10.82.1
  • Example 10.82.2
  • Theorem 10.82.3
  • Lemma 10.82.4
  • Lemma 10.82.5
  • Example 10.82.6
  • Lemma 10.82.7
  • Lemma 10.82.8
  • Lemma 10.82.9
  • Lemma 10.82.10
  • Lemma 10.82.11
  • Lemma 10.82.12
  • Lemma 10.82.13
  • Lemma 10.82.14
• Section 10.83: Descent for finite projective modules
  • Lemma 10.83.1
  • Lemma 10.83.2
  • Proposition 10.83.3
• Section 10.84: Transfinite dévissage of modules
  • Definition 10.84.1
  • Lemma 10.84.2
  • Lemma 10.84.3
  • Theorem 10.84.4
  • Theorem 10.84.5 slogan
• Section 10.85: Projective modules over a local ring
  • Lemma 10.85.1
  • Lemma 10.85.2
  • Lemma 10.85.3
  • Theorem 10.85.4 slogan
• Section 10.86: Mittag-Leffler systems
  • Definition 10.86.1
  • Example 10.86.2
  • Lemma 10.86.3
  • Lemma 10.86.4
• Section 10.87: Inverse systems
  • Lemma 10.87.1
• Section 10.88: Mittag-Leffler modules
  • Definition 10.88.1
  • Definition 10.88.2
  • Lemma 10.88.3
  • Lemma 10.88.4
  • Lemma 10.88.5
  • Proposition 10.88.6
  • Definition 10.88.7
  • Remark 10.88.8
  • Lemma 10.88.9
  • Lemma 10.88.10
  • Lemma 10.88.11
  • Lemma 10.88.12
  • Remark 10.88.13
• Section 10.89: Interchanging direct products with tensor
  • Example 10.89.1
  • Proposition 10.89.2
  • Proposition 10.89.3
  • Lemma 10.89.4
  • Proposition 10.89.5
  • Lemma 10.89.6
  • Lemma 10.89.7
  • Lemma 10.89.8
  • Lemma 10.89.9
  • Lemma 10.89.10
  • Lemma 10.89.11
• Section 10.90: Coherent rings
  • Definition 10.90.1
  • Example 10.90.2
  • Lemma 10.90.3
  • Lemma 10.90.4
  • Lemma 10.90.5
  • Proposition 10.90.6 reference
• Section 10.91: Examples and non-examples of Mittag-Leffler modules
  • Example 10.91.1
  • Lemma 10.91.2
  • Lemma 10.91.3
  • Lemma 10.91.4
  • Example 10.91.5
• Section 10.92: Countably generated Mittag-Leffler modules
  • Lemma 10.92.1
  • Lemma 10.92.2
• Section 10.93: Characterizing projective modules
  • Lemma 10.93.1
  • Remark 10.93.2
  • Theorem 10.93.3
  • Lemma 10.93.4
  • Lemma 10.93.5
• Section 10.94: Ascending properties of modules
  • Lemma 10.94.1
• Section 10.95: Descending properties of modules
  • Lemma 10.95.1 reference
  • Lemma 10.95.2
  • Lemma 10.95.3
  • Lemma 10.95.4
  • Lemma 10.95.5
  • Theorem 10.95.6
• Section 10.96: Completion
  • Lemma 10.96.1
  • Definition 10.96.2
  • Lemma 10.96.3 reference
  • Lemma 10.96.4
  • Lemma 10.96.5 reference
  • Lemma 10.96.6
  • Lemma 10.96.7
  • Lemma 10.96.8
  • Lemma 10.96.9
  • Lemma 10.96.10
  • Lemma 10.96.11
  • Lemma 10.96.12
• Section 10.97: Completion for Noetherian rings
  • Lemma 10.97.1
  • Lemma 10.97.2
  • Lemma 10.97.3
  • Lemma 10.97.4
  • Lemma 10.97.5
  • Lemma 10.97.6
  • Lemma 10.97.7
  • Lemma 10.97.8
  • Lemma 10.97.9
  • Lemma 10.97.10
• Section 10.98: Taking limits of modules
  • Lemma 10.98.1
  • Lemma 10.98.2
  • Lemma 10.98.3
  • Lemma 10.98.4
• Section 10.99: Criteria for flatness
  • Lemma 10.99.1
  • Lemma 10.99.2
  • Lemma 10.99.3
  • Lemma 10.99.4
  • Lemma 10.99.5
  • Lemma 10.99.6
  • Lemma 10.99.7: Local criterion for flatness
  • Lemma 10.99.8
  • Lemma 10.99.9
  • Lemma 10.99.10: Variant of the local criterion
  • Lemma 10.99.11
  • Lemma 10.99.12
  • Lemma 10.99.13
  • Lemma 10.99.14
  • Lemma 10.99.15: Critère de platitude par fibres; Noetherian case
• Section 10.100: Base change and flatness
  • Lemma 10.100.1
  • Lemma 10.100.2
• Section 10.101: Flatness criteria over Artinian rings
  • Lemma 10.101.1
  • Lemma 10.101.2
  • Lemma 10.101.3
  • Lemma 10.101.4
  • Lemma 10.101.5
  • Lemma 10.101.6
  • Lemma 10.101.7
  • Lemma 10.101.8: Critère de platitude par fibres: Nilpotent case
• Section 10.102: What makes a complex exact?
  • Situation 10.102.1
  • Lemma 10.102.2
  • Lemma 10.102.3
  • Lemma 10.102.4
  • Definition 10.102.5
  • Lemma 10.102.6
  • Lemma 10.102.7
  • Lemma 10.102.8: Acyclicity lemma reference
  • Proposition 10.102.9 reference
  • Remark 10.102.10
• Section 10.103: Cohen-Macaulay modules
  • Definition 10.103.1
  • Lemma 10.103.2
  • Lemma 10.103.3
  • Proposition 10.103.4
  • Lemma 10.103.5
  • Lemma 10.103.6
  • Lemma 10.103.7 reference
  • Definition 10.103.8
  • Lemma 10.103.9 slogan
  • Lemma 10.103.10
  • Lemma 10.103.11
  • Definition 10.103.12
  • Lemma 10.103.13
• Section 10.104: Cohen-Macaulay rings
  • Definition 10.104.1
  • Lemma 10.104.2 slogan
  • Lemma 10.104.3
  • Lemma 10.104.4
  • Lemma 10.104.5
  • Definition 10.104.6
  • Lemma 10.104.7
  • Lemma 10.104.8
  • Lemma 10.104.9
  • Lemma 10.104.10
• Section 10.105: Catenary rings
  • Definition 10.105.1
  • Lemma 10.105.2
  • Definition 10.105.3
  • Lemma 10.105.4
  • Lemma 10.105.5
  • Lemma 10.105.6
  • Lemma 10.105.7
  • Lemma 10.105.8
  • Lemma 10.105.9
  • Lemma 10.105.10
• Section 10.106: Regular local rings
  • Lemma 10.106.1
  • Lemma 10.106.2
  • Lemma 10.106.3
  • Lemma 10.106.4
  • Lemma 10.106.5
  • Lemma 10.106.6
  • Lemma 10.106.7
  • Lemma 10.106.8
• Section 10.107: Epimorphisms of rings
  • Lemma 10.107.1
  • Lemma 10.107.2
  • Lemma 10.107.3
  • Lemma 10.107.4
  • Lemma 10.107.5
  • Lemma 10.107.6 slogan
  • Lemma 10.107.7
  • Lemma 10.107.8
  • Lemma 10.107.9
  • Lemma 10.107.10
  • Lemma 10.107.11
  • Remark 10.107.12
  • Lemma 10.107.13
  • Lemma 10.107.14
• Section 10.108: Pure ideals
  • Definition 10.108.1
  • Lemma 10.108.2
  • Lemma 10.108.3 slogan
  • Lemma 10.108.4
  • Lemma 10.108.5
  • Lemma 10.108.6
• Section 10.109: Rings of finite global dimension
  • Lemma 10.109.1: Schanuel's lemma
  • Definition 10.109.2
  • Lemma 10.109.3
  • Lemma 10.109.4
  • Lemma 10.109.5
  • Lemma 10.109.6
  • Lemma 10.109.7
  • Lemma 10.109.8
  • Lemma 10.109.9
  • Definition 10.109.10
  • Lemma 10.109.11
  • Lemma 10.109.12
  • Lemma 10.109.13
• Section 10.110: Regular rings and global dimension
  • Proposition 10.110.1
  • Lemma 10.110.2
  • Lemma 10.110.3
  • Lemma 10.110.4
  • Proposition 10.110.5
  • Lemma 10.110.6
  • Definition 10.110.7
  • Lemma 10.110.8
  • Lemma 10.110.9
• Section 10.111: Auslander-Buchsbaum
  • Proposition 10.111.1
• Section 10.112: Homomorphisms and dimension
  • Lemma 10.112.1
  • Lemma 10.112.2
  • Lemma 10.112.3
  • Lemma 10.112.4
  • Definition 10.112.5
  • Lemma 10.112.6
  • Lemma 10.112.7
  • Lemma 10.112.8
  • Lemma 10.112.9
• Section 10.113: The dimension formula
  • Lemma 10.113.1
  • Lemma 10.113.2
• Section 10.114: Dimension of finite type algebras over fields
  • Lemma 10.114.1
  • Proposition 10.114.2
  • Lemma 10.114.3
  • Lemma 10.114.4
  • Lemma 10.114.5
  • Lemma 10.114.6
  • Lemma 10.114.7
• Section 10.115: Noether normalization
  • Lemma 10.115.1
  • Lemma 10.115.2
  • Lemma 10.115.3
  • Lemma 10.115.4 slogan
  • Lemma 10.115.5
  • Lemma 10.115.6
  • Lemma 10.115.7
• Section 10.116: Dimension of finite type algebras over fields, reprise
  • Lemma 10.116.1
  • Lemma 10.116.2
  • Lemma 10.116.3
  • Lemma 10.116.4
  • Lemma 10.116.5
  • Lemma 10.116.6
  • Lemma 10.116.7
• Section 10.117: Dimension of graded algebras over a field
  • Lemma 10.117.1
• Section 10.118: Generic flatness
  • Lemma 10.118.1
  • Lemma 10.118.2 slogan
  • Lemma 10.118.3
    • Equation 10.118.3.1
    • Equation 10.118.3.2
  • Lemma 10.118.4
  • Lemma 10.118.5
  • Lemma 10.118.6
  • Lemma 10.118.7
• Section 10.119: Around Krull-Akizuki
  • Lemma 10.119.1
  • Lemma 10.119.2: Kollár reference
  • Lemma 10.119.3
  • Example 10.119.4
  • Example 10.119.5
  • Remark 10.119.6
  • Lemma 10.119.7
  • Definition 10.119.8
  • Lemma 10.119.9
  • Lemma 10.119.10
  • Lemma 10.119.11
  • Lemma 10.119.12: Krull-Akizuki
  • Lemma 10.119.13
• Section 10.120: Factorization
  • Definition 10.120.1
  • Lemma 10.120.2
  • Lemma 10.120.3
  • Definition 10.120.4
  • Lemma 10.120.5
  • Lemma 10.120.6
  • Lemma 10.120.7: Nagata's criterion for factoriality reference
  • Lemma 10.120.8
  • Lemma 10.120.9
  • Lemma 10.120.10
  • Lemma 10.120.11
  • Definition 10.120.12
  • Lemma 10.120.13
  • Definition 10.120.14
  • Lemma 10.120.15
  • Lemma 10.120.16 slogan
  • Lemma 10.120.17
  • Lemma 10.120.18
• Section 10.121: Orders of vanishing
  • Lemma 10.121.1
  • Definition 10.121.2
  • Definition 10.121.3
  • Lemma 10.121.4
  • Definition 10.121.5
  • Lemma 10.121.6
  • Lemma 10.121.7
  • Lemma 10.121.8
• Section 10.122: Quasi-finite maps
  • Lemma 10.122.1
  • Lemma 10.122.2 slogan
  • Definition 10.122.3
  • Lemma 10.122.4
  • Lemma 10.122.5
  • Lemma 10.122.6
  • Lemma 10.122.7
  • Lemma 10.122.8
  • Lemma 10.122.9
  • Lemma 10.122.10
• Section 10.123: Zariski's Main Theorem
  • Lemma 10.123.1
  • Lemma 10.123.2
  • Lemma 10.123.3
  • Situation 10.123.4
  • Lemma 10.123.5
  • Lemma 10.123.6
  • Definition 10.123.7
  • Lemma 10.123.8
  • Lemma 10.123.9
  • Lemma 10.123.10
  • Lemma 10.123.11
  • Theorem 10.123.12: Zariski's Main Theorem
  • Lemma 10.123.13
  • Lemma 10.123.14
• Section 10.124: Applications of Zariski's Main Theorem
  • Lemma 10.124.1
  • Lemma 10.124.2
  • Lemma 10.124.3
• Section 10.125: Dimension of fibres
  • Definition 10.125.1
  • Lemma 10.125.2
  • Lemma 10.125.3
  • Lemma 10.125.4
  • Lemma 10.125.5 slogan
  • Lemma 10.125.6
  • Lemma 10.125.7
  • Lemma 10.125.8
  • Lemma 10.125.9
• Section 10.126: Algebras and modules of finite presentation
  • Lemma 10.126.1
  • Lemma 10.126.2
  • Lemma 10.126.3
  • Lemma 10.126.4
  • Lemma 10.126.5
  • Lemma 10.126.6
  • Lemma 10.126.7
  • Lemma 10.126.8
  • Lemma 10.126.9
  • Lemma 10.126.10
  • Lemma 10.126.11
• Section 10.127: Colimits and maps of finite presentation
  • Lemma 10.127.1
  • Lemma 10.127.2
  • Lemma 10.127.3
  • Lemma 10.127.4
  • Lemma 10.127.5
  • Lemma 10.127.6
  • Lemma 10.127.7
  • Lemma 10.127.8
  • Lemma 10.127.9
  • Lemma 10.127.10
  • Lemma 10.127.11
  • Remark 10.127.12
  • Lemma 10.127.13
  • Lemma 10.127.14
  • Lemma 10.127.15
  • Lemma 10.127.16
  • Lemma 10.127.17
  • Lemma 10.127.18
• Section 10.128: More flatness criteria
  • Lemma 10.128.1 slogan
  • Lemma 10.128.2
  • Lemma 10.128.3
  • Lemma 10.128.4
  • Lemma 10.128.5
  • Lemma 10.128.6
  • Lemma 10.128.7
  • Lemma 10.128.8: Critère de platitude par fibres
  • Lemma 10.128.9
  • Lemma 10.128.10: Critère de platitude par fibres: locally nilpotent case
• Section 10.129: Openness of the flat locus
  • Lemma 10.129.1
  • Lemma 10.129.2
  • Lemma 10.129.3
  • Theorem 10.129.4
• Section 10.130: Openness of Cohen-Macaulay loci
  • Lemma 10.130.1
  • Lemma 10.130.2
  • Lemma 10.130.3
  • Lemma 10.130.4
  • Lemma 10.130.5
  • Lemma 10.130.6
  • Lemma 10.130.7
  • Lemma 10.130.8
• Section 10.131: Differentials
  • Definition 10.131.1
  • Definition 10.131.2
  • Lemma 10.131.3 slogan
  • Lemma 10.131.4
    • Equation 10.131.4.1
    • Equation 10.131.4.2
  • Lemma 10.131.5
  • Lemma 10.131.6
  • Lemma 10.131.7
  • Lemma 10.131.8
  • Lemma 10.131.9
  • Lemma 10.131.10
  • Lemma 10.131.11
  • Lemma 10.131.12
  • Lemma 10.131.13
  • Lemma 10.131.14
  • Lemma 10.131.15
  • Lemma 10.131.16
• Section 10.132: The de Rham complex
  • Equation 10.132.0.1
  • Lemma 10.132.1
• Section 10.133: Finite order differential operators
  • Definition 10.133.1
  • Lemma 10.133.2
  • Lemma 10.133.3
  • Definition 10.133.4
  • Example 10.133.5
  • Lemma 10.133.6
  • Remark 10.133.7
  • Lemma 10.133.8
  • Lemma 10.133.9
  • Lemma 10.133.10
  • Lemma 10.133.11
• Section 10.134: The naive cotangent complex
  • Equation 10.134.0.1
  • Equation 10.134.0.2
  • Definition 10.134.1
    • Equation 10.134.1.1
  • Lemma 10.134.2
  • Lemma 10.134.3
  • Lemma 10.134.4: Jacobi-Zariski sequence
  • Remark 10.134.5
  • Lemma 10.134.6
  • Lemma 10.134.7
  • Lemma 10.134.8: Flat base change
  • Lemma 10.134.9
  • Lemma 10.134.10
  • Lemma 10.134.11
  • Lemma 10.134.12 slogan
  • Lemma 10.134.13
  • Lemma 10.134.14
  • Lemma 10.134.15
  • Lemma 10.134.16
• Section 10.135: Local complete intersections
  • Definition 10.135.1
  • Lemma 10.135.2
  • Lemma 10.135.3
  • Lemma 10.135.4
  • Definition 10.135.5
  • Lemma 10.135.6
  • Lemma 10.135.7
  • Lemma 10.135.8
  • Lemma 10.135.9
  • Lemma 10.135.10
  • Lemma 10.135.11
  • Lemma 10.135.12
• Section 10.136: Syntomic morphisms
  • Definition 10.136.1
  • Lemma 10.136.2 slogan
  • Lemma 10.136.3
  • Lemma 10.136.4
  • Definition 10.136.5
  • Lemma 10.136.6
  • Example 10.136.7
  • Example 10.136.8
  • Lemma 10.136.9
  • Lemma 10.136.10
  • Lemma 10.136.11
  • Lemma 10.136.12
  • Lemma 10.136.13
  • Lemma 10.136.14
  • Lemma 10.136.15
  • Lemma 10.136.16
  • Lemma 10.136.17
  • Lemma 10.136.18
• Section 10.137: Smooth ring maps
  • Definition 10.137.1
  • Lemma 10.137.2
  • Lemma 10.137.3
  • Lemma 10.137.4 slogan
  • Lemma 10.137.5
  • Definition 10.137.6
  • Lemma 10.137.7
  • Example 10.137.8
  • Lemma 10.137.9
  • Lemma 10.137.10
  • Definition 10.137.11
  • Lemma 10.137.12
  • Lemma 10.137.13 slogan
  • Lemma 10.137.14
  • Lemma 10.137.15
  • Lemma 10.137.16
  • Lemma 10.137.17
  • Lemma 10.137.18
  • Lemma 10.137.19
  • Lemma 10.137.20
• Section 10.138: Formally smooth maps
  • Definition 10.138.1
  • Lemma 10.138.2
  • Lemma 10.138.3
  • Lemma 10.138.4
  • Lemma 10.138.5
  • Remark 10.138.6
  • Lemma 10.138.7
  • Proposition 10.138.8
  • Lemma 10.138.9
  • Lemma 10.138.10
  • Lemma 10.138.11
  • Lemma 10.138.12
    • Equation 10.138.12.1
  • Proposition 10.138.13
  • Lemma 10.138.14
  • Lemma 10.138.15
  • Lemma 10.138.16
  • Lemma 10.138.17
• Section 10.139: Smoothness and differentials
  • Lemma 10.139.1
  • Lemma 10.139.2
  • Lemma 10.139.3
  • Lemma 10.139.4 slogan
• Section 10.140: Smooth algebras over fields
  • Lemma 10.140.1
  • Lemma 10.140.2
  • Lemma 10.140.3
  • Lemma 10.140.4
  • Lemma 10.140.5
  • Lemma 10.140.6
  • Lemma 10.140.7
  • Example 10.140.8
  • Lemma 10.140.9
• Section 10.141: Smooth ring maps in the Noetherian case
  • Definition 10.141.1
  • Lemma 10.141.2
    • Equation 10.141.2.1
• Section 10.142: Overview of results on smooth ring maps
• Section 10.143: Étale ring maps
  • Definition 10.143.1
  • Lemma 10.143.2
  • Lemma 10.143.3
  • Lemma 10.143.4
  • Lemma 10.143.5
  • Lemma 10.143.6
  • Lemma 10.143.7
  • Lemma 10.143.8
  • Lemma 10.143.9
  • Lemma 10.143.10 slogan
  • Lemma 10.143.11
  • Example 10.143.12
  • Lemma 10.143.13
• Section 10.144: Local structure of étale ring maps
  • Definition 10.144.1
  • Lemma 10.144.2
  • Lemma 10.144.3
  • Proposition 10.144.4
  • Lemma 10.144.5
  • Lemma 10.144.6
• Section 10.145: Étale local structure of quasi-finite ring maps
  • Lemma 10.145.1
  • Lemma 10.145.2
  • Lemma 10.145.3
  • Lemma 10.145.4
• Section 10.146: Local homomorphisms
  • Lemma 10.146.1 reference
  • Lemma 10.146.2
• Section 10.147: Integral closure and smooth base change
  • Lemma 10.147.1
  • Lemma 10.147.2
  • Example 10.147.3
  • Lemma 10.147.4
  • Lemma 10.147.5
• Section 10.148: Formally unramified maps
  • Definition 10.148.1
  • Lemma 10.148.2
  • Lemma 10.148.3
  • Lemma 10.148.4
  • Lemma 10.148.5
• Section 10.149: Conormal modules and universal thickenings
  • Lemma 10.149.1
  • Definition 10.149.2
  • Lemma 10.149.3
  • Lemma 10.149.4
  • Lemma 10.149.5
• Section 10.150: Formally étale maps
  • Definition 10.150.1
  • Lemma 10.150.2
  • Lemma 10.150.3
  • Lemma 10.150.4
  • Lemma 10.150.5
• Section 10.151: Unramified ring maps
  • Definition 10.151.1
  • Lemma 10.151.2
  • Lemma 10.151.3
  • Lemma 10.151.4
  • Lemma 10.151.5
  • Lemma 10.151.6
  • Lemma 10.151.7
  • Lemma 10.151.8
  • Lemma 10.151.9
• Section 10.152: Local structure of unramified ring maps
  • Proposition 10.152.1
  • Lemma 10.152.2
  • Lemma 10.152.3 slogan
• Section 10.153: Henselian local rings
  • Definition 10.153.1
  • Lemma 10.153.2
  • Lemma 10.153.3 slogan
  • Lemma 10.153.4
  • Lemma 10.153.5
  • Lemma 10.153.6
  • Lemma 10.153.7
  • Lemma 10.153.8
  • Lemma 10.153.9 slogan
  • Lemma 10.153.10 slogan
  • Lemma 10.153.11
  • Lemma 10.153.12
  • Lemma 10.153.13
• Section 10.154: Filtered colimits of étale ring maps
  • Lemma 10.154.1
  • Lemma 10.154.2
  • Lemma 10.154.3
  • Lemma 10.154.4
  • Lemma 10.154.5
  • Lemma 10.154.6
  • Lemma 10.154.7
  • Lemma 10.154.8
• Section 10.155: Henselization and strict henselization
  • Lemma 10.155.1
  • Lemma 10.155.2
  • Definition 10.155.3
  • Remark 10.155.4
  • Lemma 10.155.5
  • Lemma 10.155.6
  • Lemma 10.155.7
  • Lemma 10.155.8
  • Lemma 10.155.9
  • Lemma 10.155.10
  • Lemma 10.155.11
  • Lemma 10.155.12
  • Lemma 10.155.13
• Section 10.156: Henselization and quasi-finite ring maps
  • Lemma 10.156.1
  • Lemma 10.156.2 slogan
  • Lemma 10.156.3
  • Lemma 10.156.4
  • Lemma 10.156.5
  • Lemma 10.156.6
• Section 10.157: Serre's criterion for normality
  • Definition 10.157.1
  • Lemma 10.157.2
  • Lemma 10.157.3 slogan
  • Lemma 10.157.4: Serre's criterion for normality slogan reference
  • Lemma 10.157.5
  • Lemma 10.157.6
• Section 10.158: Formal smoothness of fields
  • Lemma 10.158.1
  • Lemma 10.158.2
  • Lemma 10.158.3
  • Lemma 10.158.4
  • Lemma 10.158.5
  • Lemma 10.158.6
  • Lemma 10.158.7
  • Lemma 10.158.8 slogan
  • Proposition 10.158.9
  • Lemma 10.158.10
  • Lemma 10.158.11
• Section 10.159: Constructing flat ring maps
  • Lemma 10.159.1
  • Lemma 10.159.2
  • Lemma 10.159.3
  • Lemma 10.159.4
• Section 10.160: The Cohen structure theorem
  • Definition 10.160.1
  • Lemma 10.160.2
  • Lemma 10.160.3
  • Definition 10.160.4
  • Definition 10.160.5
  • Lemma 10.160.6
  • Lemma 10.160.7
  • Theorem 10.160.8: Cohen structure theorem
  • Remark 10.160.9
  • Lemma 10.160.10
  • Lemma 10.160.11
• Section 10.161: Japanese rings
  • Definition 10.161.1 reference
  • Example 10.161.2
  • Lemma 10.161.3
  • Lemma 10.161.4
  • Lemma 10.161.5
  • Lemma 10.161.6
  • Lemma 10.161.7
  • Lemma 10.161.8
  • Example 10.161.9
  • Lemma 10.161.10
  • Lemma 10.161.11
  • Lemma 10.161.12
  • Lemma 10.161.13
  • Lemma 10.161.14
  • Lemma 10.161.15
  • Lemma 10.161.16: Tate reference
  • Lemma 10.161.17
• Section 10.162: Nagata rings
  • Definition 10.162.1
  • Lemma 10.162.2
  • Lemma 10.162.3
  • Lemma 10.162.4
  • Lemma 10.162.5
  • Lemma 10.162.6
  • Lemma 10.162.7
  • Lemma 10.162.8
  • Definition 10.162.9
  • Lemma 10.162.10
  • Lemma 10.162.11
  • Lemma 10.162.12
  • Lemma 10.162.13
  • Lemma 10.162.14
  • Proposition 10.162.15: Nagata
  • Proposition 10.162.16
  • Example 10.162.17
  • Lemma 10.162.18
• Section 10.163: Ascending properties
  • Lemma 10.163.1 reference
  • Lemma 10.163.2
  • Lemma 10.163.3
  • Lemma 10.163.4
  • Lemma 10.163.5
  • Lemma 10.163.6
  • Lemma 10.163.7
  • Lemma 10.163.8
  • Lemma 10.163.9
  • Lemma 10.163.10 slogan
• Section 10.164: Descending properties
  • Lemma 10.164.1
  • Lemma 10.164.2
  • Lemma 10.164.3
  • Lemma 10.164.4
  • Lemma 10.164.5
  • Lemma 10.164.6
  • Lemma 10.164.7
  • Remark 10.164.8
• Section 10.165: Geometrically normal algebras
  • Lemma 10.165.1
  • Definition 10.165.2
  • Lemma 10.165.3 slogan
  • Lemma 10.165.4
  • Lemma 10.165.5
  • Lemma 10.165.6
• Section 10.166: Geometrically regular algebras
  • Lemma 10.166.1
  • Definition 10.166.2
  • Lemma 10.166.3 slogan
  • Lemma 10.166.4
  • Lemma 10.166.5
  • Lemma 10.166.6
• Section 10.167: Geometrically Cohen-Macaulay algebras
  • Lemma 10.167.1
  • Lemma 10.167.2
• Section 10.168: Colimits and maps of finite presentation, II
  • Lemma 10.168.1
  • Lemma 10.168.2
  • Lemma 10.168.3
  • Lemma 10.168.4
  • Lemma 10.168.5
  • Lemma 10.168.6
  • Lemma 10.168.7
  • Lemma 10.168.8
  • Lemma 10.168.9
  • Lemma 10.168.10