42 Chow Homology and Chern Classes

• Section 42.1: Introduction
• Section 42.2: Periodic complexes and Herbrand quotients
  • Definition 42.2.1
  • Definition 42.2.2
    • Equation 42.2.2.1
  • Lemma 42.2.3
  • Lemma 42.2.4
  • Lemma 42.2.5
• Section 42.3: Calculation of some multiplicities
  • Lemma 42.3.1
  • Lemma 42.3.2
  • Lemma 42.3.3
  • Lemma 42.3.4
• Section 42.4: Preparation for tame symbols
  • Lemma 42.4.1
  • Lemma 42.4.2
  • Lemma 42.4.3
  • Lemma 42.4.4
• Section 42.5: Tame symbols
  • Equation 42.5.0.1
  • Lemma 42.5.1
  • Lemma 42.5.2
  • Lemma 42.5.3
  • Lemma 42.5.4
    • Equation 42.5.4.1
• Section 42.6: A key lemma
  • Lemma 42.6.1
  • Lemma 42.6.2
  • Lemma 42.6.3: Key Lemma reference
  • Remark 42.6.4: Milnor K-theory
• Section 42.7: Setup
  • Situation 42.7.1
  • Example 42.7.2
  • Example 42.7.3
  • Example 42.7.4
  • Lemma 42.7.5
  • Definition 42.7.6
• Section 42.8: Cycles
  • Definition 42.8.1
  • Remark 42.8.2
  • Definition 42.8.3
  • Definition 42.8.4
• Section 42.9: Cycle associated to a closed subscheme
  • Lemma 42.9.1
  • Definition 42.9.2
• Section 42.10: Cycle associated to a coherent sheaf
  • Lemma 42.10.1
  • Definition 42.10.2
  • Lemma 42.10.3
  • Lemma 42.10.4
• Section 42.11: Preparation for proper pushforward
  • Lemma 42.11.1
  • Lemma 42.11.2
• Section 42.12: Proper pushforward
  • Definition 42.12.1
  • Lemma 42.12.2
  • Lemma 42.12.3
  • Lemma 42.12.4
• Section 42.13: Preparation for flat pullback
  • Lemma 42.13.1
  • Lemma 42.13.2
• Section 42.14: Flat pullback
  • Definition 42.14.1
  • Lemma 42.14.2
  • Lemma 42.14.3
  • Lemma 42.14.4
• Section 42.15: Push and pull
  • Lemma 42.15.1
  • Lemma 42.15.2
• Section 42.16: Preparation for principal divisors
  • Lemma 42.16.1
  • Lemma 42.16.2
• Section 42.17: Principal divisors
  • Definition 42.17.1
  • Lemma 42.17.2
• Section 42.18: Principal divisors and pushforward
  • Lemma 42.18.1
    • Equation 42.18.1.1
  • Lemma 42.18.2
  • Lemma 42.18.3
• Section 42.19: Rational equivalence
  • Definition 42.19.1
  • Remark 42.19.2
  • Lemma 42.19.3
  • Lemma 42.19.4
  • Example 42.19.5
  • Remark 42.19.6
• Section 42.20: Rational equivalence and push and pull
  • Lemma 42.20.1
  • Lemma 42.20.2
  • Lemma 42.20.3
• Section 42.21: Rational equivalence and the projective line
  • Lemma 42.21.1
  • Lemma 42.21.2
  • Lemma 42.21.3
• Section 42.22: Chow groups and envelopes
  • Definition 42.22.1 reference
  • Lemma 42.22.2
  • Lemma 42.22.3
  • Lemma 42.22.4
• Section 42.23: Chow groups and K-groups
  • Lemma 42.23.1
  • Lemma 42.23.2
  • Lemma 42.23.3
  • Lemma 42.23.4
  • Remark 42.23.5
  • Lemma 42.23.6
• Section 42.24: The divisor associated to an invertible sheaf
  • Definition 42.24.1
  • Lemma 42.24.2
  • Lemma 42.24.3
• Section 42.25: Intersecting with an invertible sheaf
  • Definition 42.25.1
  • Lemma 42.25.2
  • Lemma 42.25.3
    • Equation 42.25.3.1
  • Lemma 42.25.4
• Section 42.26: Intersecting with an invertible sheaf and push and pull
  • Lemma 42.26.1
  • Lemma 42.26.2
  • Lemma 42.26.3
  • Lemma 42.26.4
• Section 42.27: The key formula
  • Lemma 42.27.1: Key formula
  • Remark 42.27.2
  • Remark 42.27.3
• Section 42.28: Intersecting with an invertible sheaf and rational equivalence
  • Lemma 42.28.1
  • Lemma 42.28.2
  • Lemma 42.28.3
• Section 42.29: Gysin homomorphisms
  • Definition 42.29.1
  • Remark 42.29.2
  • Remark 42.29.3
  • Lemma 42.29.4
  • Lemma 42.29.5
  • Remark 42.29.6
  • Remark 42.29.7
  • Lemma 42.29.8
  • Lemma 42.29.9
• Section 42.30: Gysin homomorphisms and rational equivalence
  • Lemma 42.30.1
  • Lemma 42.30.2
  • Lemma 42.30.3
  • Lemma 42.30.4
  • Lemma 42.30.5
• Section 42.31: Relative effective Cartier divisors
  • Lemma 42.31.1
• Section 42.32: Affine bundles
  • Lemma 42.32.1
  • Lemma 42.32.2
  • Remark 42.32.3
  • Lemma 42.32.4
  • Lemma 42.32.5
  • Lemma 42.32.6
  • Lemma 42.32.7
  • Remark 42.32.8
• Section 42.33: Bivariant intersection theory
  • Definition 42.33.1 reference
  • Lemma 42.33.2
  • Lemma 42.33.3
  • Lemma 42.33.4
  • Remark 42.33.5
  • Remark 42.33.6
  • Example 42.33.7
  • Remark 42.33.8
• Section 42.34: Chow cohomology and the first Chern class
  • Definition 42.34.1
  • Remark 42.34.2
  • Lemma 42.34.3
  • Definition 42.34.4
  • Lemma 42.34.5
  • Lemma 42.34.6
  • Remark 42.34.7
  • Remark 42.34.8
• Section 42.35: Lemmas on bivariant classes
  • Lemma 42.35.1 reference
  • Lemma 42.35.2 reference
  • Lemma 42.35.3
  • Lemma 42.35.4
  • Remark 42.35.5
  • Lemma 42.35.6
• Section 42.36: Projective space bundle formula
  • Lemma 42.36.1
  • Lemma 42.36.2: Projective space bundle formula
  • Lemma 42.36.3
• Section 42.37: The Chern classes of a vector bundle
  • Definition 42.37.1
    • Equation 42.37.1.1
  • Lemma 42.37.2
  • Remark 42.37.3
    • Equation 42.37.3.1
• Section 42.38: Intersecting with Chern classes
  • Definition 42.38.1
  • Lemma 42.38.2
  • Lemma 42.38.3
  • Lemma 42.38.4
  • Lemma 42.38.5
  • Lemma 42.38.6
  • Lemma 42.38.7
  • Definition 42.38.8
  • Lemma 42.38.9
  • Remark 42.38.10
  • Remark 42.38.11
• Section 42.39: Polynomial relations among Chern classes
  • Lemma 42.39.1
    • Equation 42.39.1.1
• Section 42.40: Additivity of Chern classes
  • Lemma 42.40.1
  • Lemma 42.40.2
  • Lemma 42.40.3
  • Lemma 42.40.4
• Section 42.41: Degrees of zero cycles
  • Definition 42.41.1
  • Lemma 42.41.2
  • Lemma 42.41.3
  • Lemma 42.41.4
• Section 42.42: Cycles of given codimension
  • Lemma 42.42.1
  • Remark 42.42.2
• Section 42.43: The splitting principle
  • Lemma 42.43.1
  • Remark 42.43.2
  • Lemma 42.43.3
  • Lemma 42.43.4
  • Remark 42.43.5
  • Example 42.43.6
• Section 42.44: Chern classes and sections
  • Lemma 42.44.1
  • Lemma 42.44.2
• Section 42.45: The Chern character and tensor products
  • Remark 42.45.1
  • Lemma 42.45.2
  • Lemma 42.45.3
  • Lemma 42.45.4
• Section 42.46: Chern classes and the derived category
  • Lemma 42.46.1
  • Lemma 42.46.2
  • Definition 42.46.3
  • Lemma 42.46.4
  • Lemma 42.46.5
  • Lemma 42.46.6
  • Lemma 42.46.7
  • Remark 42.46.8
  • Lemma 42.46.9
  • Lemma 42.46.10
  • Lemma 42.46.11
• Section 42.47: A baby case of localized Chern classes
  • Lemma 42.47.1
  • Lemma 42.47.2
  • Lemma 42.47.3
  • Lemma 42.47.4
  • Lemma 42.47.5
  • Lemma 42.47.6
  • Lemma 42.47.7
  • Lemma 42.47.8
  • Lemma 42.47.9
  • Lemma 42.47.10
  • Lemma 42.47.11
• Section 42.48: Gysin at infinity
  • Lemma 42.48.1
  • Lemma 42.48.2
  • Lemma 42.48.3
  • Lemma 42.48.4
  • Lemma 42.48.5
• Section 42.49: Preparation for localized Chern classes
  • Lemma 42.49.1
  • Lemma 42.49.2
  • Lemma 42.49.3
  • Lemma 42.49.4
  • Lemma 42.49.5
  • Lemma 42.49.6
  • Lemma 42.49.7
  • Lemma 42.49.8
• Section 42.50: Localized Chern classes
  • Situation 42.50.1
  • Lemma 42.50.2
    • Equation 42.50.2.1
  • Definition 42.50.3
  • Lemma 42.50.4
  • Remark 42.50.5
  • Lemma 42.50.6
  • Lemma 42.50.7
  • Lemma 42.50.8
  • Lemma 42.50.9
• Section 42.51: Two technical lemmas
  • Lemma 42.51.1
  • Lemma 42.51.2
• Section 42.52: Properties of localized Chern classes
  • Lemma 42.52.1
  • Lemma 42.52.2
  • Remark 42.52.3
  • Lemma 42.52.4
  • Lemma 42.52.5
  • Lemma 42.52.6
• Section 42.53: Blowing up at infinity
• Section 42.54: Higher codimension gysin homomorphisms
  • Lemma 42.54.1
  • Lemma 42.54.2
  • Lemma 42.54.3
  • Lemma 42.54.4
  • Lemma 42.54.5
  • Lemma 42.54.6
  • Lemma 42.54.7
  • Lemma 42.54.8
  • Lemma 42.54.9
  • Lemma 42.54.10
  • Remark 42.54.11: Variant for immersions
• Section 42.55: Calculating some classes
  • Lemma 42.55.1
  • Lemma 42.55.2
  • Lemma 42.55.3
  • Lemma 42.55.4
• Section 42.56: An Adams operator
  • Lemma 42.56.1
  • Remark 42.56.2
  • Lemma 42.56.3
  • Remark 42.56.4
  • Remark 42.56.5
  • Lemma 42.56.6
  • Remark 42.56.7
  • Remark 42.56.8
  • Lemma 42.56.9
  • Remark 42.56.10
  • Remark 42.56.11
  • Remark 42.56.12
• Section 42.57: Chow groups and K-groups revisited
  • Proposition 42.57.1
• Section 42.58: Rational intersection products on regular schemes
  • Lemma 42.58.1
• Section 42.59: Gysin maps for local complete intersection morphisms
  • Lemma 42.59.1
  • Lemma 42.59.2
  • Lemma 42.59.3
  • Definition 42.59.4
  • Lemma 42.59.5
  • Lemma 42.59.6
  • Lemma 42.59.7
  • Lemma 42.59.8
  • Remark 42.59.9
  • Lemma 42.59.10
  • Lemma 42.59.11: Blow up formula
  • Lemma 42.59.12
  • Lemma 42.59.13
• Section 42.60: Gysin maps for diagonals
  • Lemma 42.60.1
  • Proposition 42.60.2 reference
• Section 42.61: Exterior product
  • Lemma 42.61.1
  • Lemma 42.61.2
  • Lemma 42.61.3
  • Remark 42.61.4
  • Lemma 42.61.5
• Section 42.62: Intersection products
  • Lemma 42.62.1
  • Lemma 42.62.2
  • Lemma 42.62.3
  • Lemma 42.62.4
  • Lemma 42.62.5
  • Lemma 42.62.6
  • Lemma 42.62.7
• Section 42.63: Exterior product over Dedekind domains
  • Lemma 42.63.1
  • Lemma 42.63.2
  • Lemma 42.63.3
  • Remark 42.63.4
  • Lemma 42.63.5
• Section 42.64: Intersection products over Dedekind domains
  • Lemma 42.64.1
  • Lemma 42.64.2
• Section 42.65: Todd classes
• Section 42.66: Grothendieck-Riemann-Roch
• Section 42.67: Change of base scheme
  • Situation 42.67.1
  • Lemma 42.67.2
  • Lemma 42.67.3
  • Lemma 42.67.4
  • Lemma 42.67.5
  • Lemma 42.67.6
  • Lemma 42.67.7
  • Lemma 42.67.8
  • Lemma 42.67.9
  • Lemma 42.67.10
• Section 42.68: Appendix A: Alternative approach to key lemma
  • Subsection 42.68.1: Determinants of finite length modules
  • Definition 42.68.2
  • Lemma 42.68.3
  • Lemma 42.68.4
  • Lemma 42.68.5
    • Equation 42.68.5.1
  • Lemma 42.68.6
  • Lemma 42.68.7
  • Lemma 42.68.8
  • Remark 42.68.9
  • Lemma 42.68.10
  • Example 42.68.11
  • Subsection 42.68.12: Periodic complexes and determinants
  • Definition 42.68.13
  • Remark 42.68.14
  • Lemma 42.68.15
  • Lemma 42.68.16
  • Lemma 42.68.17
  • Lemma 42.68.18
  • Example 42.68.19
  • Example 42.68.20
  • Example 42.68.21
  • Example 42.68.22
  • Example 42.68.23
  • Lemma 42.68.24
  • Lemma 42.68.25
  • Subsection 42.68.26: Symbols
  • Lemma 42.68.27
  • Lemma 42.68.28
  • Definition 42.68.29
  • Lemma 42.68.30
  • Definition 42.68.31
  • Lemma 42.68.32
  • Lemma 42.68.33
  • Lemma 42.68.34
  • Lemma 42.68.35
  • Lemma 42.68.36
  • Lemma 42.68.37
  • Lemma 42.68.38
  • Lemma 42.68.39
  • Subsection 42.68.40: Lengths and determinants
  • Lemma 42.68.41
  • Lemma 42.68.42
  • Proposition 42.68.43
  • Lemma 42.68.44
  • Subsection 42.68.45: Application to the key lemma
  • Lemma 42.68.46: Key Lemma reference
• Section 42.69: Appendix B: Alternative approaches
  • Subsection 42.69.1: Rational equivalence and K-groups
  • Lemma 42.69.2
  • Lemma 42.69.3
  • Subsection 42.69.4: Cartier divisors and K-groups
  • Lemma 42.69.5
  • Lemma 42.69.6
  • Lemma 42.69.7