37 More on Morphisms

• Section 37.1: Introduction
• Section 37.2: Thickenings
  • Definition 37.2.1
  • Lemma 37.2.2
  • Lemma 37.2.3 slogan reference
  • Lemma 37.2.4
  • Lemma 37.2.5 slogan
  • Lemma 37.2.6
• Section 37.3: Morphisms of thickenings
  • Lemma 37.3.1
  • Lemma 37.3.2
  • Lemma 37.3.3
  • Lemma 37.3.4
• Section 37.4: Picard groups of thickenings
  • Lemma 37.4.1
  • Lemma 37.4.2
• Section 37.5: First order infinitesimal neighbourhood
  • Definition 37.5.1
  • Lemma 37.5.2
  • Lemma 37.5.3
• Section 37.6: Formally unramified morphisms
  • Definition 37.6.1
  • Lemma 37.6.2
  • Lemma 37.6.3
  • Lemma 37.6.4
  • Lemma 37.6.5
  • Lemma 37.6.6
  • Lemma 37.6.7
  • Lemma 37.6.8 slogan
• Section 37.7: Universal first order thickenings
  • Lemma 37.7.1
  • Definition 37.7.2
  • Lemma 37.7.3
  • Lemma 37.7.4
  • Lemma 37.7.5
  • Lemma 37.7.6
  • Lemma 37.7.7
  • Lemma 37.7.8
  • Lemma 37.7.9
  • Lemma 37.7.10
  • Lemma 37.7.11
  • Lemma 37.7.12
• Section 37.8: Formally étale morphisms
  • Definition 37.8.1
  • Lemma 37.8.2
  • Lemma 37.8.3
  • Lemma 37.8.4
  • Lemma 37.8.5
  • Lemma 37.8.6
  • Lemma 37.8.7
  • Lemma 37.8.8
  • Lemma 37.8.9
• Section 37.9: Infinitesimal deformations of maps
  • Lemma 37.9.1
    • Equation 37.9.1.1
  • Lemma 37.9.2
  • Remark 37.9.3
  • Lemma 37.9.4
    • Equation 37.9.4.1
  • Lemma 37.9.5
  • Remark 37.9.6
  • Remark 37.9.7
  • Lemma 37.9.8
  • Lemma 37.9.9
  • Lemma 37.9.10
  • Remark 37.9.11
• Section 37.10: Infinitesimal deformations of schemes
  • Lemma 37.10.1
  • Lemma 37.10.2
  • Lemma 37.10.3
  • Lemma 37.10.4
  • Lemma 37.10.5
  • Lemma 37.10.6: Deformations of projective schemes
• Section 37.11: Formally smooth morphisms
  • Definition 37.11.1
  • Lemma 37.11.2
  • Lemma 37.11.3
  • Lemma 37.11.4
  • Lemma 37.11.5
  • Lemma 37.11.6
  • Lemma 37.11.7: Infinitesimal lifting criterion
  • Lemma 37.11.8
  • Lemma 37.11.9
  • Lemma 37.11.10
  • Lemma 37.11.11
  • Lemma 37.11.12
  • Lemma 37.11.13
• Section 37.12: Smoothness over a Noetherian base
  • Lemma 37.12.1
  • Lemma 37.12.2
  • Lemma 37.12.3
  • Lemma 37.12.4
• Section 37.13: The naive cotangent complex
  • Definition 37.13.1
  • Lemma 37.13.2
  • Lemma 37.13.3
  • Lemma 37.13.4
  • Lemma 37.13.5
  • Lemma 37.13.6
  • Lemma 37.13.7
  • Lemma 37.13.8
  • Lemma 37.13.9
  • Lemma 37.13.10
  • Lemma 37.13.11
  • Lemma 37.13.12
  • Lemma 37.13.13
  • Lemma 37.13.14
  • Lemma 37.13.15
  • Lemma 37.13.16
• Section 37.14: Pushouts in the category of schemes, I
  • Lemma 37.14.1
  • Lemma 37.14.2
  • Lemma 37.14.3
  • Lemma 37.14.4
  • Lemma 37.14.5
  • Lemma 37.14.6
• Section 37.15: Openness of the flat locus
  • Theorem 37.15.1 reference
  • Lemma 37.15.2
• Section 37.16: Critère de platitude par fibres
  • Theorem 37.16.1
  • Theorem 37.16.2
    • Equation 37.16.2.1
  • Lemma 37.16.3
  • Lemma 37.16.4
  • Lemma 37.16.5
  • Lemma 37.16.6
  • Lemma 37.16.7
  • Lemma 37.16.8
• Section 37.17: Closed immersions between smooth schemes
  • Lemma 37.17.1
  • Remark 37.17.2
  • Lemma 37.17.3
• Section 37.18: Flat modules and relative assassins
  • Lemma 37.18.1
  • Lemma 37.18.2 reference
  • Lemma 37.18.3
  • Lemma 37.18.4
  • Lemma 37.18.5
  • Remark 37.18.6
• Section 37.19: Normalization revisited
  • Lemma 37.19.1
  • Lemma 37.19.2: Normalization commutes with smooth base change
  • Lemma 37.19.3: Normalization and smooth morphisms
  • Lemma 37.19.4: Normalization and henselization
• Section 37.20: Normal morphisms
  • Definition 37.20.1
  • Lemma 37.20.2
  • Lemma 37.20.3
  • Lemma 37.20.4
  • Lemma 37.20.5
• Section 37.21: Regular morphisms
  • Definition 37.21.1
  • Lemma 37.21.2
  • Lemma 37.21.3
  • Lemma 37.21.4
• Section 37.22: Cohen-Macaulay morphisms
  • Definition 37.22.1
  • Lemma 37.22.2
  • Lemma 37.22.3
  • Lemma 37.22.4
  • Lemma 37.22.5
  • Lemma 37.22.6
  • Lemma 37.22.7 reference
  • Lemma 37.22.8
  • Lemma 37.22.9
  • Lemma 37.22.10
  • Lemma 37.22.11
• Section 37.23: Slicing Cohen-Macaulay morphisms
  • Lemma 37.23.1
  • Lemma 37.23.2
  • Lemma 37.23.3
  • Lemma 37.23.4 reference
  • Lemma 37.23.5
  • Lemma 37.23.6
• Section 37.24: Generic fibres
  • Lemma 37.24.1
  • Lemma 37.24.2
  • Lemma 37.24.3
  • Lemma 37.24.4
  • Lemma 37.24.5
  • Lemma 37.24.6
  • Lemma 37.24.7
  • Lemma 37.24.8
• Section 37.25: Relative assassins
  • Lemma 37.25.1
  • Lemma 37.25.2
  • Lemma 37.25.3
  • Lemma 37.25.4
  • Lemma 37.25.5
• Section 37.26: Reduced fibres
  • Lemma 37.26.1
  • Lemma 37.26.2
  • Lemma 37.26.3
  • Lemma 37.26.4
  • Lemma 37.26.5
  • Lemma 37.26.6
  • Lemma 37.26.7
• Section 37.27: Irreducible components of fibres
  • Lemma 37.27.1
  • Lemma 37.27.2
  • Lemma 37.27.3
  • Lemma 37.27.4
    • Equation 37.27.4.1
  • Lemma 37.27.5
  • Lemma 37.27.6
  • Lemma 37.27.7
• Section 37.28: Connected components of fibres
  • Lemma 37.28.1
  • Lemma 37.28.2
  • Lemma 37.28.3
  • Lemma 37.28.4
  • Lemma 37.28.5
  • Lemma 37.28.6
  • Lemma 37.28.7 slogan
• Section 37.29: Connected components meeting a section
  • Situation 37.29.1
  • Lemma 37.29.2
  • Lemma 37.29.3
  • Lemma 37.29.4
  • Lemma 37.29.5
  • Lemma 37.29.6
• Section 37.30: Dimension of fibres
  • Lemma 37.30.1
  • Lemma 37.30.2
  • Lemma 37.30.3
  • Lemma 37.30.4
  • Lemma 37.30.5
  • Lemma 37.30.6
• Section 37.31: Weak relative Noether normalization
  • Lemma 37.31.1
  • Lemma 37.31.2
  • Lemma 37.31.3
• Section 37.32: Bertini theorems
  • Lemma 37.32.1 reference
  • Lemma 37.32.2
  • Lemma 37.32.3 reference
  • Remark 37.32.4
• Section 37.33: Theorem of the cube
  • Lemma 37.33.1
  • Lemma 37.33.2
  • Lemma 37.33.3
  • Lemma 37.33.4
  • Lemma 37.33.5
  • Lemma 37.33.6
  • Lemma 37.33.7
  • Theorem 37.33.8: Theorem of the cube
• Section 37.34: Limit arguments
  • Lemma 37.34.1
  • Lemma 37.34.2
  • Lemma 37.34.3
  • Lemma 37.34.4
  • Lemma 37.34.5
  • Lemma 37.34.6
  • Lemma 37.34.7
  • Lemma 37.34.8
  • Lemma 37.34.9
  • Lemma 37.34.10
  • Lemma 37.34.11
• Section 37.35: Étale neighbourhoods
  • Definition 37.35.1
  • Lemma 37.35.2
  • Lemma 37.35.3
  • Lemma 37.35.4
  • Lemma 37.35.5
  • Lemma 37.35.6 slogan
• Section 37.36: Étale neighbourhoods and branches
  • Lemma 37.36.1
  • Lemma 37.36.2
  • Lemma 37.36.3
  • Lemma 37.36.4
• Section 37.37: Unramified and étale morphisms
  • Lemma 37.37.1
  • Lemma 37.37.2 reference
  • Lemma 37.37.3
  • Lemma 37.37.4
• Section 37.38: Slicing smooth morphisms
  • Lemma 37.38.1
  • Lemma 37.38.2
  • Remark 37.38.3
  • Lemma 37.38.4
  • Lemma 37.38.5
  • Lemma 37.38.6
  • Lemma 37.38.7
  • Lemma 37.38.8
• Section 37.39: Étale neighbourhoods and Artin approximation
  • Lemma 37.39.1
  • Lemma 37.39.2
  • Lemma 37.39.3
  • Lemma 37.39.4
  • Lemma 37.39.5
  • Lemma 37.39.6
    • Equation 37.39.6.1
    • Equation 37.39.6.2
  • Lemma 37.39.7
• Section 37.40: Finite free locally dominates étale
  • Lemma 37.40.1
  • Lemma 37.40.2
  • Remark 37.40.3
• Section 37.41: Étale localization of quasi-finite morphisms
  • Equation 37.41.0.1
  • Lemma 37.41.1
  • Lemma 37.41.2
  • Lemma 37.41.3
  • Lemma 37.41.4
  • Lemma 37.41.5
  • Lemma 37.41.6
• Section 37.42: Étale localization of integral morphisms
  • Lemma 37.42.1
• Section 37.43: Zariski's Main Theorem
  • Lemma 37.43.1
  • Lemma 37.43.2 slogan
  • Lemma 37.43.3: Zariski's Main Theorem reference
  • Lemma 37.43.4
• Section 37.44: Applications of Zariski's Main Theorem, I
  • Lemma 37.44.1
  • Lemma 37.44.2
  • Lemma 37.44.3
• Section 37.45: Applications of Zariski's Main Theorem, II
  • Lemma 37.45.1
  • Lemma 37.45.2
  • Lemma 37.45.3
  • Lemma 37.45.4
  • Lemma 37.45.5
  • Lemma 37.45.6
  • Lemma 37.45.7
• Section 37.46: Application to morphisms with connected fibres
  • Lemma 37.46.1
  • Lemma 37.46.2
  • Lemma 37.46.3
  • Lemma 37.46.4
• Section 37.47: Application to the structure of finite type morphisms
  • Lemma 37.47.1
  • Lemma 37.47.2 slogan
  • Lemma 37.47.3
  • Lemma 37.47.4
• Section 37.48: Application to the fppf topology
  • Lemma 37.48.1
  • Lemma 37.48.2
  • Lemma 37.48.3
  • Lemma 37.48.4
  • Lemma 37.48.5
  • Lemma 37.48.6
  • Lemma 37.48.7
  • Remark 37.48.8
• Section 37.49: Quasi-projective schemes
  • Lemma 37.49.1
  • Lemma 37.49.2
  • Lemma 37.49.3
• Section 37.50: Projective schemes
  • Lemma 37.50.1
  • Lemma 37.50.2
  • Lemma 37.50.3 reference
• Section 37.51: Proj and Spec
  • Equation 37.51.0.1
  • Equation 37.51.0.2
  • Lemma 37.51.1
• Section 37.52: Closed points in fibres
  • Lemma 37.52.1
  • Lemma 37.52.2
  • Lemma 37.52.3
  • Lemma 37.52.4
  • Remark 37.52.5
  • Lemma 37.52.6
  • Lemma 37.52.7
  • Remark 37.52.8
  • Lemma 37.52.9
• Section 37.53: Stein factorization
  • Lemma 37.53.1
  • Lemma 37.53.2
  • Lemma 37.53.3
  • Theorem 37.53.4: Stein factorization; Noetherian case
  • Theorem 37.53.5: Stein factorization; general case
  • Lemma 37.53.6
  • Lemma 37.53.7
  • Lemma 37.53.8
  • Lemma 37.53.9 reference
• Section 37.54: Generic flatness stratification
  • Lemma 37.54.1: Generic flatness stratification
  • Lemma 37.54.2
  • Lemma 37.54.3
  • Lemma 37.54.4
• Section 37.55: Stratifying a morphism
  • Lemma 37.55.1
  • Lemma 37.55.2
• Section 37.56: Improving morphisms of relative dimension one
  • Lemma 37.56.1
• Section 37.57: Descending separated locally quasi-finite morphisms
  • Lemma 37.57.1
• Section 37.58: Relative finite presentation
  • Definition 37.58.1
  • Lemma 37.58.2
  • Lemma 37.58.3
  • Lemma 37.58.4
  • Lemma 37.58.5
  • Lemma 37.58.6
  • Lemma 37.58.7
  • Lemma 37.58.8
  • Lemma 37.58.9 slogan
• Section 37.59: Relative pseudo-coherence
  • Lemma 37.59.1
  • Definition 37.59.2
  • Lemma 37.59.3
  • Lemma 37.59.4
  • Lemma 37.59.5
  • Lemma 37.59.6
  • Lemma 37.59.7
  • Lemma 37.59.8
  • Lemma 37.59.9
  • Lemma 37.59.10
  • Lemma 37.59.11
  • Lemma 37.59.12
  • Lemma 37.59.13
  • Lemma 37.59.14
  • Lemma 37.59.15
  • Lemma 37.59.16
  • Lemma 37.59.17
  • Lemma 37.59.18
• Section 37.60: Pseudo-coherent morphisms
  • Lemma 37.60.1
  • Definition 37.60.2
  • Lemma 37.60.3
  • Lemma 37.60.4
  • Lemma 37.60.5
  • Lemma 37.60.6
  • Lemma 37.60.7
  • Lemma 37.60.8
  • Lemma 37.60.9
  • Lemma 37.60.10
  • Lemma 37.60.11
  • Lemma 37.60.12
  • Lemma 37.60.13
• Section 37.61: Perfect morphisms
  • Lemma 37.61.1
  • Definition 37.61.2
  • Lemma 37.61.3
  • Lemma 37.61.4
  • Lemma 37.61.5
  • Lemma 37.61.6
  • Lemma 37.61.7
  • Lemma 37.61.8
  • Remark 37.61.9
  • Lemma 37.61.10
  • Lemma 37.61.11
  • Lemma 37.61.12
  • Lemma 37.61.13
  • Lemma 37.61.14
  • Lemma 37.61.15
• Section 37.62: Local complete intersection morphisms
  • Lemma 37.62.1
  • Definition 37.62.2
  • Lemma 37.62.3
  • Lemma 37.62.4
  • Lemma 37.62.5
  • Lemma 37.62.6
  • Lemma 37.62.7
  • Lemma 37.62.8 slogan
  • Lemma 37.62.9
  • Lemma 37.62.10
  • Lemma 37.62.11
  • Lemma 37.62.12
  • Lemma 37.62.13
  • Lemma 37.62.14
  • Lemma 37.62.15
  • Lemma 37.62.16
  • Lemma 37.62.17
  • Lemma 37.62.18
  • Lemma 37.62.19
  • Lemma 37.62.20
  • Lemma 37.62.21
  • Lemma 37.62.22
  • Lemma 37.62.23
• Section 37.63: Exact sequences of differentials and conormal sheaves
• Section 37.64: Weakly étale morphisms
  • Definition 37.64.1
  • Lemma 37.64.2
  • Lemma 37.64.3
  • Lemma 37.64.4
  • Lemma 37.64.5
  • Lemma 37.64.6
  • Lemma 37.64.7
  • Lemma 37.64.8
  • Lemma 37.64.9
  • Lemma 37.64.10
  • Lemma 37.64.11
  • Lemma 37.64.12
  • Lemma 37.64.13
  • Lemma 37.64.14
  • Lemma 37.64.15
• Section 37.65: Reduced fibre theorem
  • Equation 37.65.0.1
  • Theorem 37.65.1
  • Lemma 37.65.2: Variant over curves
  • Lemma 37.65.3: Variant with separable extension
  • Lemma 37.65.4: Variant with separable extensions over curves
• Section 37.66: Ind-quasi-affine morphisms
  • Definition 37.66.1
  • Lemma 37.66.2
  • Lemma 37.66.3
  • Lemma 37.66.4
  • Lemma 37.66.5
  • Lemma 37.66.6
  • Lemma 37.66.7
  • Lemma 37.66.8
• Section 37.67: Pushouts in the category of schemes, II
  • Situation 37.67.1
  • Lemma 37.67.2
  • Proposition 37.67.3 reference
  • Lemma 37.67.4
  • Lemma 37.67.5
  • Lemma 37.67.6
  • Lemma 37.67.7
  • Lemma 37.67.8
  • Lemma 37.67.9
• Section 37.68: Relative morphisms
  • Equation 37.68.0.1
  • Equation 37.68.0.2
  • Lemma 37.68.1
  • Lemma 37.68.2
  • Lemma 37.68.3
  • Lemma 37.68.4
• Section 37.69: Characterizing pseudo-coherent complexes, III
  • Lemma 37.69.1
  • Lemma 37.69.2: Derived Chow's lemma
  • Lemma 37.69.3
  • Lemma 37.69.4
  • Lemma 37.69.5
  • Lemma 37.69.6
• Section 37.70: Descent finiteness properties of complexes
  • Lemma 37.70.1
  • Lemma 37.70.2
  • Lemma 37.70.3
• Section 37.71: Relatively perfect objects
  • Lemma 37.71.1
  • Lemma 37.71.2
  • Lemma 37.71.3
• Section 37.72: Contracting rational curves
  • Lemma 37.72.1
  • Lemma 37.72.2
  • Lemma 37.72.3
  • Lemma 37.72.4
  • Lemma 37.72.5
  • Lemma 37.72.6
  • Lemma 37.72.7
  • Lemma 37.72.8
• Section 37.73: Affine stratifications
  • Definition 37.73.1
  • Lemma 37.73.2
  • Lemma 37.73.3
  • Definition 37.73.4
  • Lemma 37.73.5
  • Lemma 37.73.6
  • Proposition 37.73.7
  • Example 37.73.8
• Section 37.74: Universally open morphisms
  • Lemma 37.74.1
  • Lemma 37.74.2
  • Lemma 37.74.3
  • Lemma 37.74.4
  • Lemma 37.74.5
  • Lemma 37.74.6
  • Lemma 37.74.7
• Section 37.75: Weightings
  • Lemma 37.75.1
  • Definition 37.75.2
  • Lemma 37.75.3
  • Lemma 37.75.4
  • Lemma 37.75.5
  • Lemma 37.75.6
  • Lemma 37.75.7
  • Lemma 37.75.8
• Section 37.76: More on weightings
  • Lemma 37.76.1
  • Lemma 37.76.2
  • Lemma 37.76.3
  • Lemma 37.76.4
  • Lemma 37.76.5
  • Lemma 37.76.6
  • Lemma 37.76.7
  • Lemma 37.76.8
  • Lemma 37.76.9
• Section 37.77: Weightings and affine stratification numbers
  • Lemma 37.77.1
  • Proposition 37.77.2
• Section 37.78: Completely decomposed morphisms
  • Definition 37.78.1
  • Lemma 37.78.2
  • Lemma 37.78.3
  • Lemma 37.78.4 reference
  • Lemma 37.78.5
• Section 37.79: Families of ample invertible modules
  • Lemma 37.79.1
  • Lemma 37.79.2
• Section 37.80: Blowing up and ample families of invertible modules
  • Lemma 37.80.1
  • Lemma 37.80.2 reference
  • Proposition 37.80.3
• Section 37.81: The extensive criterion for closed immersions
  • Lemma 37.81.1
  • Lemma 37.81.2
  • Lemma 37.81.3
  • Lemma 37.81.4