101 Morphisms of Algebraic Stacks

• Section 101.1: Introduction
• Section 101.2: Conventions and abuse of language
• Section 101.3: Properties of diagonals
  • Lemma 101.3.1
  • Lemma 101.3.2
  • Lemma 101.3.3 slogan
    • Equation 101.3.3.1
  • Lemma 101.3.4
  • Lemma 101.3.5
  • Lemma 101.3.6
  • Lemma 101.3.7
• Section 101.4: Separation axioms
  • Definition 101.4.1
  • Definition 101.4.2
  • Lemma 101.4.3
  • Lemma 101.4.4
  • Lemma 101.4.5
  • Lemma 101.4.6
  • Lemma 101.4.7
  • Lemma 101.4.8
  • Lemma 101.4.9
  • Lemma 101.4.10
  • Lemma 101.4.11
  • Lemma 101.4.12
  • Lemma 101.4.13
  • Lemma 101.4.14
  • Lemma 101.4.15
  • Lemma 101.4.16
• Section 101.5: Inertia stacks
  • Lemma 101.5.1
  • Remark 101.5.2
    • Equation 101.5.2.1
  • Definition 101.5.3
  • Lemma 101.5.4
  • Lemma 101.5.5
  • Lemma 101.5.6
  • Lemma 101.5.7
• Section 101.6: Higher diagonals
  • Lemma 101.6.1
  • Lemma 101.6.2
  • Lemma 101.6.3
  • Lemma 101.6.4
  • Lemma 101.6.5
  • Lemma 101.6.6
• Section 101.7: Quasi-compact morphisms
  • Lemma 101.7.1
  • Definition 101.7.2
  • Lemma 101.7.3
  • Lemma 101.7.4
  • Lemma 101.7.5
  • Lemma 101.7.6
  • Lemma 101.7.7
  • Lemma 101.7.8
  • Lemma 101.7.9
  • Lemma 101.7.10
• Section 101.8: Noetherian algebraic stacks
  • Definition 101.8.1
  • Lemma 101.8.2
  • Lemma 101.8.3
  • Lemma 101.8.4
• Section 101.9: Affine morphisms
  • Definition 101.9.1
  • Lemma 101.9.2
  • Lemma 101.9.3
  • Lemma 101.9.4
• Section 101.10: Integral and finite morphisms
  • Definition 101.10.1
  • Lemma 101.10.2
  • Lemma 101.10.3
• Section 101.11: Open morphisms
  • Lemma 101.11.1
  • Definition 101.11.2
  • Lemma 101.11.3
  • Lemma 101.11.4
• Section 101.12: Submersive morphisms
  • Lemma 101.12.1
  • Definition 101.12.2
  • Lemma 101.12.3
  • Lemma 101.12.4
• Section 101.13: Universally closed morphisms
  • Lemma 101.13.1
  • Definition 101.13.2
  • Lemma 101.13.3
  • Lemma 101.13.4
  • Lemma 101.13.5
• Section 101.14: Universally injective morphisms
  • Lemma 101.14.1
  • Definition 101.14.2
  • Lemma 101.14.3
  • Lemma 101.14.4
  • Lemma 101.14.5
  • Lemma 101.14.6
  • Lemma 101.14.7
  • Lemma 101.14.8
• Section 101.15: Universal homeomorphisms
  • Lemma 101.15.1
  • Definition 101.15.2
  • Lemma 101.15.3
  • Lemma 101.15.4
  • Lemma 101.15.5
• Section 101.16: Types of morphisms smooth local on source-and-target
  • Lemma 101.16.1
  • Definition 101.16.2
  • Remark 101.16.3
  • Remark 101.16.4
  • Remark 101.16.5
• Section 101.17: Morphisms of finite type
  • Definition 101.17.1
  • Lemma 101.17.2
  • Lemma 101.17.3
  • Lemma 101.17.4
  • Lemma 101.17.5
  • Lemma 101.17.6
  • Lemma 101.17.7
  • Lemma 101.17.8
• Section 101.18: Points of finite type
  • Lemma 101.18.1
  • Definition 101.18.2
  • Lemma 101.18.3
  • Lemma 101.18.4
  • Lemma 101.18.5
  • Lemma 101.18.6
  • Lemma 101.18.7
• Section 101.19: Automorphism groups
  • Lemma 101.19.1
  • Lemma 101.19.2
  • Remark 101.19.3
  • Lemma 101.19.4
  • Remark 101.19.5
• Section 101.20: Presentations and properties of algebraic stacks
  • Lemma 101.20.1
  • Lemma 101.20.2
• Section 101.21: Special presentations of algebraic stacks
  • Lemma 101.21.1
  • Lemma 101.21.2
  • Theorem 101.21.3
  • Lemma 101.21.4
    • Equation 101.21.4.1
  • Lemma 101.21.5
  • Theorem 101.21.6
  • Lemma 101.21.7
• Section 101.22: The Deligne-Mumford locus
  • Lemma 101.22.1
  • Lemma 101.22.2
• Section 101.23: Locally quasi-finite morphisms
  • Lemma 101.23.1
  • Definition 101.23.2
  • Lemma 101.23.3
  • Lemma 101.23.4
  • Lemma 101.23.5
  • Lemma 101.23.6
  • Lemma 101.23.7
  • Lemma 101.23.8
• Section 101.24: Quasi-finite morphisms
  • Definition 101.24.1 reference
  • Lemma 101.24.2
  • Lemma 101.24.3
  • Lemma 101.24.4
• Section 101.25: Flat morphisms
  • Definition 101.25.1
  • Lemma 101.25.2
  • Lemma 101.25.3
  • Lemma 101.25.4
  • Lemma 101.25.5
  • Lemma 101.25.6
• Section 101.26: Flat at a point
  • Lemma 101.26.1
  • Definition 101.26.2
• Section 101.27: Morphisms of finite presentation
  • Definition 101.27.1
  • Lemma 101.27.2
  • Lemma 101.27.3
  • Lemma 101.27.4
  • Lemma 101.27.5
  • Lemma 101.27.6
  • Lemma 101.27.7
  • Lemma 101.27.8
  • Lemma 101.27.9
  • Lemma 101.27.10
  • Lemma 101.27.11
  • Lemma 101.27.12
  • Lemma 101.27.13
  • Lemma 101.27.14
  • Lemma 101.27.15
  • Lemma 101.27.16
  • Lemma 101.27.17
• Section 101.28: Gerbes
  • Definition 101.28.1
  • Lemma 101.28.2
  • Lemma 101.28.3
  • Lemma 101.28.4
  • Lemma 101.28.5
  • Lemma 101.28.6
  • Lemma 101.28.7
  • Lemma 101.28.8
  • Proposition 101.28.9
  • Lemma 101.28.10
  • Proposition 101.28.11
  • Lemma 101.28.12
  • Lemma 101.28.13
  • Lemma 101.28.14
  • Lemma 101.28.15
• Section 101.29: Stratification by gerbes
  • Proposition 101.29.1
  • Example 101.29.2
  • Lemma 101.29.3
  • Remark 101.29.4
• Section 101.30: The topological space of an algebraic stack
  • Lemma 101.30.1
  • Lemma 101.30.2
  • Lemma 101.30.3
• Section 101.31: Existence of residual gerbes
  • Lemma 101.31.1
  • Lemma 101.31.2
  • Lemma 101.31.3
• Section 101.32: Étale local structure
  • Lemma 101.32.1
  • Lemma 101.32.2
  • Lemma 101.32.3
  • Lemma 101.32.4
  • Lemma 101.32.5
• Section 101.33: Smooth morphisms
  • Definition 101.33.1
  • Lemma 101.33.2
  • Lemma 101.33.3
  • Lemma 101.33.4
  • Lemma 101.33.5
  • Lemma 101.33.6
  • Lemma 101.33.7
  • Lemma 101.33.8
• Section 101.34: Types of morphisms étale-smooth local on source-and-target
  • Lemma 101.34.1
  • Definition 101.34.2
  • Remark 101.34.3
  • Remark 101.34.4
  • Remark 101.34.5
• Section 101.35: Étale morphisms
  • Definition 101.35.1
  • Lemma 101.35.2
  • Lemma 101.35.3
  • Lemma 101.35.4
  • Lemma 101.35.5
  • Lemma 101.35.6
• Section 101.36: Unramified morphisms
  • Definition 101.36.1
  • Lemma 101.36.2
  • Lemma 101.36.3
  • Lemma 101.36.4
  • Lemma 101.36.5
  • Lemma 101.36.6
  • Lemma 101.36.7
  • Lemma 101.36.8
  • Lemma 101.36.9
  • Lemma 101.36.10
• Section 101.37: Proper morphisms
  • Definition 101.37.1
  • Lemma 101.37.2
  • Lemma 101.37.3
  • Lemma 101.37.4
  • Lemma 101.37.5
  • Lemma 101.37.6
• Section 101.38: Scheme theoretic image
  • Definition 101.38.1
  • Lemma 101.38.2
  • Lemma 101.38.3
  • Lemma 101.38.4
  • Lemma 101.38.5
  • Lemma 101.38.6
  • Lemma 101.38.7
• Section 101.39: Valuative criteria
  • Definition 101.39.1
    • Equation 101.39.1.1
  • Lemma 101.39.2
  • Lemma 101.39.3
  • Lemma 101.39.4
  • Lemma 101.39.5
  • Definition 101.39.6
  • Lemma 101.39.7
  • Lemma 101.39.8
  • Lemma 101.39.9
  • Definition 101.39.10
  • Lemma 101.39.11
  • Lemma 101.39.12
  • Lemma 101.39.13
  • Lemma 101.39.14
• Section 101.40: Valuative criterion for second diagonal
  • Lemma 101.40.1
• Section 101.41: Valuative criterion for the diagonal
  • Lemma 101.41.1
  • Lemma 101.41.2
  • Lemma 101.41.3
• Section 101.42: Valuative criterion for universal closedness
  • Lemma 101.42.1
  • Lemma 101.42.2
• Section 101.43: Valuative criterion for properness
  • Lemma 101.43.1
• Section 101.44: Local complete intersection morphisms
  • Definition 101.44.1
  • Lemma 101.44.2
  • Lemma 101.44.3
  • Lemma 101.44.4
• Section 101.45: Stabilizer preserving morphisms
  • Lemma 101.45.1
  • Remark 101.45.2
  • Lemma 101.45.3
  • Lemma 101.45.4 reference
  • Lemma 101.45.5
  • Lemma 101.45.6
  • Lemma 101.45.7
• Section 101.46: Normalization
  • Lemma 101.46.1
  • Lemma 101.46.2
  • Definition 101.46.3
• Section 101.47: Points and specializations
  • Lemma 101.47.1
• Section 101.48: Decent algebraic stacks
  • Definition 101.48.1
  • Lemma 101.48.2
  • Lemma 101.48.3
  • Lemma 101.48.4
  • Lemma 101.48.5
• Section 101.49: Points on decent stacks
  • Lemma 101.49.1
  • Lemma 101.49.2
  • Proposition 101.49.3
• Section 101.50: Integral algebraic stacks
  • Definition 101.50.1
  • Lemma 101.50.2
  • Lemma 101.50.3
  • Lemma 101.50.4
• Section 101.51: Residual gerbes
  • Lemma 101.51.1
  • Lemma 101.51.2
  • Remark 101.51.3
  • Lemma 101.51.4